解: (用反証法)

假設是有理數。存在互質之p, q Î N， q ¹ 0使得 = p / q 。

根據算術基本定理，有: p = p₁p₂ . . . . p_k 及 q = q₁q₂ . . . . q_m，其中

p_i, q_j 是質數，1 £ i £ k，1 £ j £ m，p₁ £ p₂ £ . . . £ p_k，

q₁ £ q₂ £ . . . £ q_m。

由於p² = 2q²，所以 p₁²p₂² . . . . p_k² = 2q₁²q₂² . . . . q_m² .......................(*)。

根據算術基本定理，左、右兩邊之質因數個數必定相等；但它們之質因數個數分別是2k及2m+1。明顯 偶數2k不可能等於奇數2m+1，故(*)式不成立。因此不是有理數。